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比特币算法原理高中生如何理解比特币加密算法详解比特币挖矿原理比特币源码研读一:椭圆曲线在比特币密码中的加密原理比特币算法原理比特币算法主要有两种，分别是椭圆曲线数字签名算法和SHA256哈希算法。
椭圆曲线数字签名算法主要运用在比特币公钥和私钥的生成过程中，该算法是构成比特币系统的基石。SHA-256哈希算法主要是运用在比特币的工作量证明机制中。
比特币产生的原理是经过复杂的运算法产生的特解，挖矿就是寻找特解的过程。不过比特币的总数量只有2100万个，而且随着比特币不断被挖掘，越往后产生比特币的难度会增加，可能获得比特币的成本要比比特币本身的价格高。
比特币的区块由区块头及该区块所包含的交易列表组成，区块头的大小为80字节，由4字节的版本号、32字节的上一个区块的散列值、32字节的MerkleRootHash、4字节的时间戳（当前时间）、4字节的当前难度值、4字节的随机数组成。拥有80字节固定长度的区块头，就是用于比特币工作量证明的输入字符串。不停的变更区块头中的随机数即nonce的数值，并对每次变更后的的区块头做双重SHA256运算，将结果值与当前网络的目标值做对比，如果小于目标值，则解题成功，工作量证明完成。
比特币的本质其实是一堆复杂算法所生成的一组方程组的特解（该解具有唯一性）。比特币是世界上第一种分布式的虚拟货币，其没有特定的发行中心，比特币的网络由所有用户构成，因为没有中心的存在能够保证了数据的安全性。
高中生如何理解比特币加密算法加密算法是数字货币的基石，比特币的公钥体系采用椭圆曲线算法来保证交易的安全性。这是因为要攻破椭圆曲线加密就要面对离散对数难题，目前为止还没有找到在多项式时间内解决的办法，在算法所用的空间足够大的情况下，被认为是安全的。本文不涉及高深的数学理论，希望高中生都能看懂。
密码学具有久远的历史，几乎人人都可以构造出加解密的方法，比如说简单地循环移位。古老或简单的方法需要保密加密算法和秘钥。但是从历史上长期的攻防斗争来看，基于加密方式的保密并不可靠，同时，长期以来，秘钥的传递也是一个很大的问题，往往面临秘钥泄漏或遭遇中间人攻击的风险。
上世纪70年代，密码学迎来了突破。RalphC.Merkle在1974年首先提出非对称加密的思想，两年以后，WhitfieldDiffie和WhitfieldDiffie两位学者以单向函数和单向暗门函数为基础提出了具体的思路。随后，大量的研究和算法涌现，其中最为著名的就是RSA算法和一系列的椭圆曲线算法。
无论哪一种算法，都是站在前人的肩膀之上，主要以素数为研究对象的数论的发展，群论和有限域理论为基础。内容加密的秘钥不再需要传递，而是通过运算产生，这样，即使在不安全的网络中进行通信也是安全的。密文的破解依赖于秘钥的破解，但秘钥的破解面临难题，对于RSA算法，这个难题是大数因式分解，对于椭圆曲线算法，这个难题是类离散对数求解。两者在目前都没有多项式时间内的解决办法，也就是说，当位数增多时，难度差不多时指数级上升的。
那么加解密如何在公私钥体系中进行的呢？一句话，通过在一个有限域内的运算进行，这是因为加解密都必须是精确的。一个有限域就是一个具有有限个元素的集合。加密就是在把其中一个元素映射到另一个元素，而解密就是再做一次映射。而有限域的构成与素数的性质有关。
前段时间，黎曼猜想（与素数定理关系密切）被热炒的时候，有一位区块链项目的技术总监说椭圆曲线算法与素数无关，不受黎曼猜想证明的影响，就完全是瞎说了。可见区块链项目内鱼龙混杂，确实需要好好洗洗。
比特币及多数区块链项目采用的公钥体系都是椭圆曲线算法，而非RSA。而介绍椭圆曲线算法之前，了解一下离散对数问题对其安全性的理解很有帮助。
先来看一下费马小定理：
原根定义：
设（a,p)=1（a与p互素），满足
的最下正整数l，叫作a模p的阶，模p阶为（最大值）p-1的整数a叫作模p的原根。
两个定理：
基于此，我们可以看到，{1,2,3,…p-1}就是一个有限域，而且定义运算gi(modp),落在这个有限域内，同时，当i取0～p-2的不同数时，运算结果不同。这和我们在高中学到的求幂基本上是一样的，只不过加了一层求模运算而已。
另一点需要说明的是，g的指数可以不限于0~p-2,其实可以是所有自然数，但是由于
所以，所有的函数值都是在有限域内，而且是连续循环的。
离散对数定义：
设g为模p的原根，（a,p)=1，
我们称i为a（对于模p的原根g）的指数，表示成：
这里ind就是index的前3个字母。
这个定义是不是和log的定义很像？其实这也就是我们高中学到的对数定义的扩展，只不过现在应用到一个有限域上。
但是，这与实数域上的对数计算不同，实数域是一个连续空间，其上的对数计算有公式和规律可循，但往往很难做到精确。我们的加密体系里需要精确，但是在一个有限域上的运算极为困难，当你知道幂值a和对数底g，求其离散对数值i非常困难。
当选择的素数P足够大时，求i在时间上和运算量上变得不可能。因此我们可以说i是不能被计算出来的，也就是说是安全的，不能被破解的。
比特币的椭圆曲线算法具体而言采用的是secp256k1算法。网上关于椭圆曲线算法的介绍很多，这里不做详细阐述，大家只要知道其实它是一个三次曲线（不是一个椭圆函数），定义如下：
那么这里有参数a,b；取值不同，椭圆曲线也就不同，当然x,y这里定义在实数域上，在密码体系里是行不通的，真正采用的时候，x,y要定义在一个有限域上，都是自然数，而且小于一个素数P。那么当这个椭圆曲线定义好后，它反应在坐标系中就是一些离散的点，一点也不像曲线。但是，在设定的有限域上，其各种运算是完备的。也就是说，能够通过加密运算找到对应的点，通过解密运算得到加密前的点。
同时，与前面讲到的离散对数问题一样，我们希望在这个椭圆曲线的离散点阵中找到一个有限的子群，其具有我们前面提到的遍历和循环性质。而我们的所有计算将使用这个子群。这样就建立好了我们需要的一个有限域。那么这里就需要子群的阶（一个素数n）和在子群中的基点G（一个坐标，它通过加法运算可以遍历n阶子群）。
根据上面的描述，我们知道椭圆曲线的定义包含一个五元祖（P,a,b,G,n,h)；具体的定义和概念如下：
P:一个大素数，用来定义椭圆曲线的有限域（群）
a,b:椭圆曲线的参数，定义椭圆曲线函数
G:循环子群中的基点，运算的基础
n:循环子群的阶（另一个大素数，<P）
h：子群的相关因子，也即群的阶除以子群的阶的整数部分。
好了，是时候来看一下比特币的椭圆曲线算法是一个怎样的椭圆曲线了。简单地说，就是上述参数取以下值的椭圆曲线：
椭圆曲线定义了加法，其定义是两个点相连，交与图像的第三点的关于x轴的对称点为两个点的和。网上这部分内容已经有很多，这里不就其细节进行阐述。
但细心的同学可能有个疑问，离散对数问题的难题表现在求幂容易，但求其指数非常难，然而，椭圆曲线算法中，没有求幂，只有求乘积。这怎么体现的是离散对数问题呢？
其实，这是一个定义问题，最初椭圆曲线算法定义的时候把这种运算定义为求和，但是，你只要把这种运算定义为求积，整个体系也是没有问题的。而且如果定义为求积，你会发现所有的操作形式上和离散对数问题一致，在有限域的选择的原则上也是一致的。所以，本质上这还是一个离散对数问题。但又不完全是简单的离散对数问题，实际上比一般的离散对数问题要难，因为这里不是简单地求数的离散对数，而是在一个自定义的计算上求类似于离散对数的值。这也是为什么椭圆曲线算法采用比RSA所需要的（一般2048位）少得多的私钥位数（256位）就非常安全了。
详解比特币挖矿原理可以将区块链看作一本记录所有交易的公开总帐簿（列表），比特币网络中的每个参与者都把它看作一本所有权的权威记录。
比特币没有中心机构，几乎所有的完整节点都有一份公共总帐的备份，这份总帐可以被视为认证过的记录。
至今为止，在主干区块链上，没有发生一起成功的攻击，一次都没有。
通过创造出新区块，比特币以一个确定的但不断减慢的速率被铸造出来。大约每十分钟产生一个新区块，每一个新区块都伴随着一定数量从无到有的全新比特币。每开采210,000个块，大约耗时4年，货币发行速率降低50%。
在2016年的某个时刻，在第420,000个区块被“挖掘”出来之后降低到12.5比特币/区块。在第13,230,000个区块（大概在2137年被挖出）之前，新币的发行速度会以指数形式进行64次“二等分”。到那时每区块发行比特币数量变为比特币的最小货币单位——1聪。最终，在经过1,344万个区块之后，所有的共20,999,999.9769亿聪比特币将全部发行完毕。换句话说，到2140年左右，会存在接近2,100万比特币。在那之后，新的区块不再包含比特币奖励，矿工的收益全部来自交易费。
在收到交易后，每一个节点都会在全网广播前对这些交易进行校验，并以接收时的相应顺序，为有效的新交易建立一个池（交易池）。
每一个节点在校验每一笔交易时，都需要对照一个长长的标准列表：
交易的语法和数据结构必须正确。
输入与输出列表都不能为空。
交易的字节大小是小于MAX_BLOCK_SIZE的。
每一个输出值，以及总量，必须在规定值的范围内（小于2,100万个币，大于0）。
没有哈希等于0，N等于-1的输入（coinbase交易不应当被中继）。
nLockTime是小于或等于INT_MAX的。
交易的字节大小是大于或等于100的。
交易中的签名数量应小于签名操作数量上限。
解锁脚本（Sig）只能够将数字压入栈中，并且锁定脚本（Pubkey）必须要符合isStandard的格式（该格式将会拒绝非标准交易）。
池中或位于主分支区块中的一个匹配交易必须是存在的。
对于每一个输入，如果引用的输出存在于池中任何的交易，该交易将被拒绝。
对于每一个输入，在主分支和交易池中寻找引用的输出交易。如果输出交易缺少任何一个输入，该交易将成为一个孤立的交易。如果与其匹配的交易还没有出现在池中，那么将被加入到孤立交易池中。
对于每一个输入，如果引用的输出交易是一个coinbase输出，该输入必须至少获得COINBASE_MATURITY(100)个确认。
对于每一个输入，引用的输出是必须存在的，并且没有被花费。
使用引用的输出交易获得输入值，并检查每一个输入值和总值是否在规定值的范围内（小于2100万个币，大于0）。
如果输入值的总和小于输出值的总和，交易将被中止。
如果交易费用太低以至于无法进入一个空的区块，交易将被拒绝。
每一个输入的解锁脚本必须依据相应输出的锁定脚本来验证。
以下挖矿节点取名为A挖矿节点
挖矿节点时刻监听着传播到比特币网络的新区块。而这些新加入的区块对挖矿节点有着特殊的意义。矿工间的竞争以新区块的传播而结束，如同宣布谁是最后的赢家。对于矿工们来说，获得一个新区块意味着某个参与者赢了，而他们则输了这场竞争。然而，一轮竞争的结束也代表着下一轮竞争的开始。
验证交易后，比特币节点会将这些交易添加到自己的内存池中。内存池也称作交易池，用来暂存尚未被加入到区块的交易记录。
A节点需要为内存池中的每笔交易分配一个优先级，并选择较高优先级的交易记录来构建候选区块。
一个交易想要成为“较高优先级”，需满足的条件：优先值大于57,600,000，这个值的生成依赖于3个参数：一个比特币（即1亿聪），年龄为一天（144个区块），交易的大小为250个字节：
HighPriority>100,000,000satoshis*144blocks/250bytes=57,600,000
区块中用来存储交易的前50K字节是保留给较高优先级交易的。节点在填充这50K字节的时候，会优先考虑这些最高优先级的交易，不管它们是否包含了矿工费。这种机制使得高优先级交易即便是零矿工费，也可以优先被处理。
然后，A挖矿节点会选出那些包含最小矿工费的交易，并按照“每千字节矿工费”进行排序，优先选择矿工费高的交易来填充剩下的区块。
如区块中仍有剩余空间，A挖矿节点可以选择那些不含矿工费的交易。有些矿工会竭尽全力将那些不含矿工费的交易整合到区块中，而其他矿工也许会选择忽略这些交易。
在区块被填满后，内存池中的剩余交易会成为下一个区块的候选交易。因为这些交易还留在内存池中，所以随着新的区块被加到链上，这些交易输入时所引用UTXO的深度（即交易“块龄”）也会随着变大。由于交易的优先值取决于它交易输入的“块龄”，所以这个交易的优先值也就随之增长了。最后，一个零矿工费交易的优先值就有可能会满足高优先级的门槛，被免费地打包进区块。
UTXO（UnspentTransactionOutput）:每笔交易都有若干交易输入，也就是资金来源，也都有若干笔交易输出，也就是资金去向。一般来说，每一笔交易都要花费（spend）一笔输入，产生一笔输出，而其所产生的输出，就是“未花费过的交易输出”，也就是UTXO。
块龄：UTXO的“块龄”是自该UTXO被记录到区块链为止所经历过的区块数，即这个UTXO在区块链中的深度。
区块中的第一笔交易是笔特殊交易，称为创币交易或者coinbase交易。这个交易是由挖矿节点构造并用来奖励矿工们所做的贡献的。假设此时一个区块的奖励是25比特币，A挖矿的节点会创建“向A的地址支付25.1个比特币(包含矿工费0.1个比特币)”这样一个交易，把生成交易的奖励发送到自己的钱包。A挖出区块获得的奖励金额是coinbase奖励（25个全新的比特币）和区块中全部交易矿工费的总和。
A节点已经构建了一个候选区块，那么就轮到A的矿机对这个新区块进行“挖掘”，求解工作量证明算法以使这个区块有效。比特币挖矿过程使用的是SHA256哈希函数。
用最简单的术语来说，挖矿节点不断重复进行尝试，直到它找到的随机调整数使得产生的哈希值低于某个特定的目标。哈希函数的结果无法提前得知，也没有能得到一个特定哈希值的模式。举个例子，你一个人在屋里打台球，白球从A点到达B点，但是一个人推门进来看到白球在B点，却无论如何是不知道如何从A到B的。哈希函数的这个特性意味着：得到哈希值的唯一方法是不断的尝试，每次随机修改输入，直到出现适当的哈希值。
需要以下参数
•block的版本version
•上一个block的hash值:prev_hash
•需要写入的交易记录的hash树的值:merkle_root
•更新时间:ntime
•当前难度:nbits
挖矿的过程就是找到x使得
SHA256(SHA256(version+prev_hash+merkle_root+ntime+nbits+x))<TARGET
上式的x的范围是0~2^32,TARGET可以根据当前难度求出的。
简单打个比方，想象人们不断扔一对色子以得到小于一个特定点数的游戏。第一局，目标是12。只要你不扔出两个6，你就会赢。然后下一局目标为11。玩家只能扔10或更小的点数才能赢，不过也很简单。假如几局之后目标降低为了5。现在有一半机率以上扔出来的色子加起来点数会超过5，因此无效。随着目标越来越小，要想赢的话，扔色子的次数会指数级的上升。最终当目标为2时（最小可能点数），只有一个人平均扔36次或2%扔的次数中，他才能赢。
如前所述，目标决定了难度，进而影响求解工作量证明算法所需要的时间。那么问题来了：为什么这个难度值是可调整的？由谁来调整？如何调整？
比特币的区块平均每10分钟生成一个。这就是比特币的心跳，是货币发行速率和交易达成速度的基础。不仅是在短期内，而是在几十年内它都必须要保持恒定。在此期间，计算机性能将飞速提升。此外，参与挖矿的人和计算机也会不断变化。为了能让新区块的保持10分钟一个的产生速率，挖矿的难度必须根据这些变化进行调整。事实上，难度是一个动态的参数，会定期调整以达到每10分钟一个新区块的目标。简单地说，难度被设定在，无论挖矿能力如何，新区块产生速率都保持在10分钟一个。
那么，在一个完全去中心化的网络中，这样的调整是如何做到的呢？难度的调整是在每个完整节点中独立自动发生的。每2,016个区块(2周产生的区块)中的所有节点都会调整难度。难度的调整公式是由最新2,016个区块的花费时长与20,160分钟（两周，即这些区块以10分钟一个速率所期望花费的时长）比较得出的。难度是根据实际时长与期望时长的比值进行相应调整的（或变难或变易）。简单来说，如果网络发现区块产生速率比10分钟要快时会增加难度。如果发现比10分钟慢时则降低难度。
为了防止难度的变化过快，每个周期的调整幅度必须小于一个因子（值为4）。如果要调整的幅度大于4倍，则按4倍调整。由于在下一个2,016区块的周期不平衡的情况会继续存在，所以进一步的难度调整会在下一周期进行。因此平衡哈希计算能力和难度的巨大差异有可能需要花费几个2,016区块周期才会完成。
举个例子，当前A节点在挖277,316个区块，A挖矿节点一旦完成计算，立刻将这个区块发给它的所有相邻节点。这些节点在接收并验证这个新区块后，也会继续传播此区块。当这个新区块在网络中扩散时，每个节点都会将它作为第277,316个区块(父区块为277,315)加到自身节点的区块链副本中。当挖矿节点收到并验证了这个新区块后，它们会放弃之前对构建这个相同高度区块的计算，并立即开始计算区块链中下一个区块的工作。
比特币共识机制的第三步是通过网络中的每个节点独立校验每个新区块。当新区块在网络中传播时，每一个节点在将它转发到其节点之前，会进行一系列的测试去验证它。这确保了只有有效的区块会在网络中传播。
每一个节点对每一个新区块的独立校验，确保了矿工无法欺诈。在前面的章节中，我们看到了矿工们如何去记录一笔交易，以获得在此区块中创造的新比特币和交易费。为什么矿工不为他们自己记录一笔交易去获得数以千计的比特币？这是因为每一个节点根据相同的规则对区块进行校验。一个无效的coinbase交易将使整个区块无效，这将导致该区块被拒绝，因此，该交易就不会成为总账的一部分。
比特币去中心化的共识机制的最后一步是将区块集合至有最大工作量证明的链中。一旦一个节点验证了一个新的区块，它将尝试将新的区块连接到到现存的区块链，将它们组装起来。
节点维护三种区块：
·第一种是连接到主链上的，
·第二种是从主链上产生分支的（备用链），
·第三种是在已知链中没有找到已知父区块的。
有时候，新区块所延长的区块链并不是主链，这一点我们将在下面“区块链分叉”中看到。
如果节点收到了一个有效的区块，而在现有的区块链中却未找到它的父区块，那么这个区块被认为是“孤块”。孤块会被保存在孤块池中，直到它们的父区块被节点收到。一旦收到了父区块并且将其连接到现有区块链上，节点就会将孤块从孤块池中取出，并且连接到它的父区块，让它作为区块链的一部分。当两个区块在很短的时间间隔内被挖出来，节点有可能会以相反的顺序接收到它们，这个时候孤块现象就会出现。
选择了最大难度的区块链后，所有的节点最终在全网范围内达成共识。随着更多的工作量证明被添加到链中，链的暂时性差异最终会得到解决。挖矿节点通过“投票”来选择它们想要延长的区块链，当它们挖出一个新块并且延长了一个链，新块本身就代表它们的投票。
因为区块链是去中心化的数据结构，所以不同副本之间不能总是保持一致。区块有可能在不同时间到达不同节点，导致节点有不同的区块链视角。解决的办法是，每一个节点总是选择并尝试延长代表累计了最大工作量证明的区块链，也就是最长的或最大累计难度的链。
当有两个候选区块同时想要延长最长区块链时，分叉事件就会发生。正常情况下，分叉发生在两名矿工在较短的时间内，各自都算得了工作量证明解的时候。两个矿工在各自的候选区块一发现解，便立即传播自己的“获胜”区块到网络中，先是传播给邻近的节点而后传播到整个网络。每个收到有效区块的节点都会将其并入并延长区块链。如果该节点在随后又收到了另一个候选区块，而这个区块又拥有同样父区块，那么节点会将这个区块连接到候选链上。其结果是，一些节点收到了一个候选区块，而另一些节点收到了另一个候选区块，这时两个不同版本的区块链就出现了。
分叉之前
分叉开始
我们看到两个矿工几乎同时挖到了两个不同的区块。为了便于跟踪这个分叉事件，我们设定有一个被标记为红色的、来自加拿大的区块，还有一个被标记为绿色的、来自澳大利亚的区块。
假设有这样一种情况，一个在加拿大的矿工发现了“红色”区块的工作量证明解，在“蓝色”的父区块上延长了块链。几乎同一时刻，一个澳大利亚的矿工找到了“绿色”区块的解，也延长了“蓝色”区块。那么现在我们就有了两个区块：一个是源于加拿大的“红色”区块；另一个是源于澳大利亚的“绿色”。这两个区块都是有效的，均包含有效的工作量证明解并延长同一个父区块。这个两个区块可能包含了几乎相同的交易，只是在交易的排序上有些许不同。
比特币网络中邻近（网络拓扑上的邻近，而非地理上的）加拿大的节点会首先收到“红色”区块，并建立一个最大累计难度的区块，“红色”区块为这个链的最后一个区块（蓝色-红色），同时忽略晚一些到达的“绿色”区块。相比之下，离澳大利亚更近的节点会判定“绿色”区块胜出，并以它为最后一个区块来延长区块链（蓝色-绿色），忽略晚几秒到达的“红色”区块。那些首先收到“红色”区块的节点，会即刻以这个区块为父区块来产生新的候选区块，并尝试寻找这个候选区块的工作量证明解。同样地，接受“绿色”区块的节点会以这个区块为链的顶点开始生成新块，延长这个链。
分叉问题几乎总是在一个区块内就被解决了。网络中的一部分算力专注于“红色”区块为父区块，在其之上建立新的区块；另一部分算力则专注在“绿色”区块上。即便算力在这两个阵营中平均分配，也总有一个阵营抢在另一个阵营前发现工作量证明解并将其传播出去。在这个例子中我们可以打个比方，假如工作在“绿色”区块上的矿工找到了一个“粉色”区块延长了区块链(蓝色-绿色-粉色)，他们会立刻传播这个新区块，整个网络会都会认为这个区块是有效的，如上图所示。
所有在上一轮选择“绿色”区块为胜出者的节点会直接将这条链延长一个区块。然而，那些选择“红色”区块为胜出者的节点现在会看到两个链：“蓝色-绿色-粉色”和“蓝色-红色”。如上图所示，这些节点会根据结果将“蓝色-绿色-粉色”这条链设置为主链，将“蓝色-红色”这条链设置为备用链。这些节点接纳了新的更长的链，被迫改变了原有对区块链的观点，这就叫做链的重新共识。因为“红”区块做为父区块已经不在最长链上，导致了他们的候选区块已经成为了“孤块”，所以现在任何原本想要在“蓝色-红色”链上延长区块链的矿工都会停下来。全网将“蓝色-绿色-粉色”这条链识别为主链，“粉色”区块为这条链的最后一个区块。全部矿工立刻将他们产生的候选区块的父区块切换为“粉色”，来延长“蓝色-绿色-粉色”这条链。
从理论上来说，两个区块的分叉是有可能的，这种情况发生在因先前分叉而相互对立起来的矿工，又几乎同时发现了两个不同区块的解。然而，这种情况发生的几率是很低的。单区块分叉每周都会发生，而双块分叉则非常罕见。
比特币将区块间隔设计为10分钟，是在更快速的交易确认和更低的分叉概率间作出的妥协。更短的区块产生间隔会让交易清算更快地完成，也会导致更加频繁地区块链分叉。与之相对地，更长的间隔会减少分叉数量，却会导致更长的清算时间。
比特币源码研读一:椭圆曲线在比特币密码中的加密原理参加比特币源码研读班后首次写作，看到前辈black写的有关密钥，地址写的很好了，就选了他没有写的椭圆曲线，斗胆写这一篇。
在密码学上有两种加密方式，分别是对称密钥加密和非对称密钥加密。
对称加密：加密和解密使用的同样的密钥。
非对称加密：加密和解密是使用的不同的密钥。
二战中图灵破解德军的恩尼格码应该就是用的对称加密，因为他的加密和解密是同一个密钥。比特币的加密是非对称加密，而且用的是破解难度较大的椭圆曲线加密，简称ECC。
非对称加密的通用原理就是用一个难以解决的数学难题做到加密效果，比如RSA加密算法。RSA加密算法是用求解一个极大整数的因数的难题做到加密效果的。就是说两个极大数相乘，得到乘积很容易，但是反过来算数一个极大整数是由哪两个数乘积算出来的就非常困难。
下面简要介绍一下椭圆曲线加密算法ECC。
首先椭圆曲线的通式是这个样子的：
一般简化为这个样子：
()发公式必须吐槽一下，太麻烦了。)
其中
这样做就排除了带有奇点的椭圆曲线，可以理解为所有的点都有一条切线。
图像有几种，下面列举几个：[1]
椭圆曲线其实跟椭圆关系不大，也不像圆锥曲线那样，是有圆锥的物理模型为基础的。在计算椭圆曲线的周长时，需要用到椭圆积分，而椭圆曲线的简化通式：
，周长公式在变换后有一项是这样的：，平方之后两者基本一样。
我们大体了解了椭圆曲线，就会有一个疑问，这个东西怎么加密的呢？也就是说椭圆曲线是基于怎样的数学难题呢？在此之前还得了解一些最少必要知识：椭圆曲线加法，离散型椭圆曲线。
椭圆曲线加法
数学家门从普通的代数运算中，抽象出了加群（也叫阿贝尔群或交换群），使得在加群中，实数的算法和椭圆曲线的算法得到统一。
数学中的“群”是一个由我们定义了一种二元运算的集合，二元运算我们称之为“加法”，并用符号“+”来表示。为了让一个集合G成为群，必须定义加法运算并使之具有以下四个特性：
1.封闭性：如果a和b是集合G中的元素，那么（a+b)也是集合G中的元素。
2.结合律：(a+b)+c=a+(b+c);
3.存在单位元0，使得a+0=0+a=a;
4.每个元素都有逆元，即：对于任意a，存在b，使得a+b=0.
如果我们增加第5个条件：
5.交换律：a+b=b+a
那么，称这个群为阿贝尔群。[1]
运算法则：任意取椭圆曲线上两点P、Q（若P、Q两点重合，则做P点的切线）做直线交于椭圆曲线的另一点R’，过R’做y轴的平行线交于R。我们规定P+Q=R。（如图）[2]
特别的，当P和Q重合时，P+Q=P+P=2P，对于共线的三点，P，Q，R’有P+Q+R’=0∞.
这里的0∞不是实数意义的0，而是指的无穷远点(这里的无穷远点就不细说了，你可以理解为这个点非常遥远，遥远到两条平行线都在这一点相交了。具体介绍可以看参考文献[2])。
注意这里的R与R’之间的区别，P+Q=R，R并没有与P，Q共线，是R’与P，Q共线，不要搞错了。
法则详解：
这里的+不是实数中普通的加法，而是从普通加法中抽象出来的加法，他具备普通加法的一些性质，但具体的运算法则显然与普通加法不同。
根据这个法则，可以知道椭圆曲线无穷远点O∞与椭圆曲线上一点P的连线交于P’，过P’作y轴的平行线交于P，所以有无穷远点O∞+P=P。这样，无穷远点O∞的作用与普通加法中零的作用相当（0+2=2），我们把无穷远点O∞称为零元。同时我们把P’称为P的负元（简称，负P；记作，-P）。（参见下图）
离散型椭圆曲线
上面给出的很好看的椭圆曲线是在实数域上的连续曲线，这个是不能用来加密的，原因我没有细究，但一定是连续曲线上的运算太简单。真正用于加密的椭圆曲线是离散型的。要想有一个离散型的椭圆曲线，先得有一个有限域。
域：在抽象代数中，域（Field）之一种可进行加、减、乘、除运算的代数结构。它是从普通实数的运算中抽像出来的。这一点与阿贝尔群很类似。只不过多了乘法，和与乘法相关的分配率。
域有如下性质[3]：
1.在加法和乘法上封闭，即域里的两个数相加或相乘的结果也在这个域中。
2.加法和乘法符合结合律，交换率，分配率。
3.存在加法单位，也可以叫做零元。即存在元素0，对于有限域内所有的元素a，有a+0=a。
4.存在乘法单位，也可以叫做单位元。即存在元素1，对于有限域内所有的元素a，有1*a=a。
5.存在加法逆元，即对于有限域中所有的元素a，都存在a+(-a)=0.
6.存在乘法逆元，即对于有限域中所有的元素a，都存在a*=0.
在掌握了这些知识后，我们将椭圆曲线离散化。我们给出一个有限域Fp，这个域只有有限个元素。Fp中只有p(p为素数)个元素0,1,2……p-2,p-1；
Fp的加法（a+b）法则是a+b≡c(modp)；它的意思是同余，即（a+b）÷p的余数与c÷p的余数相同。
Fp的乘法(a×b)法则是a×b≡c(modp)；
Fp的除法(a÷b)法则是a/b≡c(modp)；即a×b∧-1≡c(modp)；（也是一个0到p-1之间的整数，但满足b×b∧-1≡1(modp)；
Fp的单位元是1，零元是0（这里的0就不是无穷远点了，而是真正的实数0）。
下面我们就试着把
这条曲线定义在Fp上：
选择两个满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b，且a，b满足
则满足下列方程的所有点(x,y)，再加上无穷远点O∞，构成一条椭圆曲线。
其中x,y属于0到p-1间的整数，并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。
图是我手画的，大家凑合看哈。不得不说，p取7时，别看只有10个点，但计算量还是很大的。
Fp上的椭圆曲线同样有加法，法则如下：
1.无穷远点O∞是零元，有O∞+O∞=O∞，O∞+P=P
2.P(x,y)的负元是(x,-y)，有P+(-P)=O∞
3.P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3)有如下关系：
x3≡-x1-x2(modp)
y3≡k(x1-x3)-y1(modp)
其中若P=Q则k=(3+a)/2y1若P≠Q，则k=(y2-y1)/(x2-x1)
通过这些法则，就可以进行离散型椭圆曲线的计算。
例：根据我画的图，（1，1）中的点P（2，4），求2P。
解：把点带入公式k=(3*x∧2+a)/2y1
有（3*2∧2+1）/2*4=6（mod7）.
(注意，有些小伙伴可能算出13/8,这是不对的，这里是模数算数，就像钟表一样，过了12点又回到1点，所以在模为7的世界里，13=6，8=1).
x=6*6-2-2=4（mod7）
y=6*（2-4）-4=2（mod7）
所以2P的坐标为（2，4）
那椭圆曲线上有什么难题呢？在模数足够大的情况下，上面这个计算过程的逆运算就足够难。
给出如下等式：
K=kG（其中K,G为Ep(a,b)上的点，k为小于n（n是点G的阶）的整数）不难发现，给定k和G，根据加法法则，计算K很容易；但给定K和G，求k就相对困难了。
这就是椭圆曲线加密算法采用的难题。我们把点G称为基点（basepoint），k称为私钥，K称为公钥。
现在我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程[2]：
1、用户A选定一条椭圆曲线Ep(a,b)，并取椭圆曲线上一点，作为基点G。
2、用户A选择一个私钥k，并生成公钥K=kG。
3、用户A将Ep(a,b)和点K，G传给用户B。
4、用户B接到信息后，将待传输的明文编码到Ep(a,b)上一点M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r（r<n）。
5、用户B计算点C1=M+rK；C2=rG。
6、用户B将C1、C2传给用户A。
7、用户A接到信息后，计算C1-kC2，结果就是点M。因为
C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M
再对点M进行解码就可以得到明文。
整个过程如下图所示：
密码学中，描述一条Fp上的椭圆曲线，常用到六个参量：
T=(p,a,b,G,n,h)，p、a、b用来确定一条椭圆曲线，G为基点，n为点G的阶，h是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分
这几个参量取值的选择，直接影响了加密的安全性。参量值一般要求满足以下几个条件：
1、p当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200位左右可以满足一般安全要求；
2、p≠n×h；
3、pt≠1(modn)，1≤t<20；
4、4a3+27b2≠0(modp)；
5、n为素数；
6、h≤4。
200位位的一个数字，那得多大？而且还是素数，所以这种方式是非常安全的。而且再一次交易中，区块被记录下来只有10分钟的时间，也就是说要想解决这个难题必须在10分钟以内。即便有技术能够在10分钟以内破解了现在这个难度的加密算法，比特币社区还可以予以反制，提高破解难度。所以比特币交易很安全，除非自己丢掉密钥，否则不存在被破解可能。
第一次写一个完全陌生的数学领域的知识，也许我有错误的地方，也许有没讲明白的地方，留言讨论吧。总之写完后对比特比系统的安全性表示很放心。
参考文献
[1]椭圆曲线密码学简介
[2]什么是椭圆曲线加密（ECC）
[3]域（数学）维基百科
区块链研习社源码研读班高若翔
OK，本文到此结束，希望对大家有所帮助。
